Аннотация. Теоремы неполноты Гёделя свидетельствуют о том, что существуют две категории целых положительных чисел. Присущие этим категориям  числа характеризуются разными свойствами.  В первую категорию входят числа, порождаемые индуктивным методом. Их так и называют: индуктивные числа. Во вторую категорию входят числа неиндуктивные. Логическое различие между теми и другими заключается в том, что первые предстают как единичные подмножества всего множества индуктивных чисел, а вторые выпадают из этого множества. Это выпадение сопровождается их включением в вероятностно-статистические группировки, или ансамбли. Автор статьи представил модель для их вероятностно-статистической интерпретации. Речь идёт о процессе квантово-компьютерных вычислений. В классических компьютерах используется рекурсивный процесс вычисления. В них «работают» только индуктивные числа. В квантовых компьютерах главную роль в вычислительном процессе играют как раз числа неиндуктивные. Гёделевы теоремы неполноты имеют эвристическое значение и в области социально-гуманитарных наук. В статье это подтверждается на ряде конкретных примеров.

Ключевые слова: элементарная арифметика, натуральный ряд чисел, теоремы неполноты, индуктивные и неиндуктивные числа, рекурсивность, квантово-компьютерные вычисления, привация, дедекиндовы сечения, комплементарная логика.

Чтобы оценить философско-мировоззренческое значение теорем неполноты Гёделя (см. [10]), целесообразно будет сначала указать на их значение для математики (внутри самой математики). Открытия Гёделя в этом плане сводятся к следующим четырём положениям (заимствуем их перечень из работы [9]). 

1. Неразрешимость для теорем: для любой непротиворечивой теории, столь же сильной, по крайней мере, как арифметика, не существует эффективной процедуры для определения того, является или нет некоторое произвольное предложение (это может быть правильно построенная формула) теоремой.
2. Неполнота: для всякой непротиворечивой теории, столь же сильной, по крайней мере, как арифметика, найдутся предложения, которые не могут быть ни доказаны, ни опровергнуты в этой теории. Речь идёт о теории, в которой множество теорем эффективно перечислимо.
3. Неразрешимость истины: не имеется эффективной процедуры для определения того, являются или не являются произвольные предложения арифметики истинными.
4. Недоказуемость непротиворечивости: для всякой непротиворечивой теории, столь же сильной, по крайней мере, как арифметика, её непротиворечивость не может быть доказана внутри самой теории [9, с. 118].

Пункт второй  здесь нуждается в существенном уточнении. Если речь идёт о теории, в которой множество теорем (доказуемых формул) эффективно перечислимо, тогда может быть найдена формула, которая является недоказуемой (не выводимой) в теории, но арифметически истинной, если теория непротиворечива. Гёдель продемонстрировал наличие такой формулы (обозначим её буквой G), чем и доказал неполноту (формальной) арифметики. Понятие эффективной процедуры, или эффективной вычислимости, уточняется у Гёделя как понятие рекурсивной вычислимости. 

Исходя из выше указанных  положений, нам будет достаточно разобраться с арифметикой. Её теоретическим основанием служит натуральный ряд чисел. Как известно, каждый математик, за исключением, быть может, ультраконструктивистов, признаёт существование (счётной) последовательности натуральных чисел, завершаемой бесконечным ординальным числом :

                          1, 2, 3, …,                                                                             (1)

Отсюда − принцип математической индукции, т.е. принцип порождения натуральных чисел и определения их (индуктивных) свойств. Для меня, начиная со студенческой скамьи, долгое время оставался неразрешимым следующий вопрос: как так получается, что математики совмещают, казалось бы, не совместимые  между собой положения: с одной стороны, представление о том, что последовательность (1) не имеет последнего члена, с другой стороны, представление о ней как актуально заданной бесконечности.  Разрешить это противоречие удалось мне при знакомстве с древнегреческой легендой о Прометее, а затем и с исторической личностью нашего пращура. Вспомним об исповеди прикованного Прометея, изложенной в одноименной трагедии Эсхила:

                                  Премудрость чисел, из наук главнейшую,

                                  Я для людей измыслил сложенье букв,

                                  Мать всех искусств, основу всякой памяти.

Как видно, память биографическую и память генетическую (родовую) Прометей соотносит с числами, закрепляя её «сложеньем букв». Следовательно, речь идёт об исчислении лет, уходящих вглубь веков вплоть до того, что принято в славяно-русском языке отмечать словами «во время óно».

В свете прометеева разума (прометеева огня) следует обернуть последовательность (1) и представить её в виде:

                   , n, n-1, …, 1, 0                                                                                  (2)

где 0 становится отметкой  момента «теперь», от которого и ведётся отсчёт вглубь веков (по примеру Повести временных лет). Понятно теперь, как натуральный ряд чисел превращается в актуальную бесконечность, если иметь в виду, что этот ряд ретроспективно выглядит как уже состоявшийся. Ведь его численную оценку, представленную ординалом , нельзя изменить, сколь бы ни продолжалось движение по ходу времени в будущее.

Далее нетрудно догадаться, что натуральный ряд чисел мог стать ориентиром для представления исторического хода общественных событий в виде звеньев, связанных между собой причинно-следственной связью. Древние греки пытались подойти именно к такому пониманию исторического процесса, но убедились в том, что история полнится множеством и тех явлений, которые выходят за рамки причинно-следственной детерминации. Древние греки пытались апеллировать к  deus ex mchina, т.е. к божьему промыслу, чтобы объяснить наличие исторических событий, не укладывающихся в рамки причинно-следственной необходимости. Так вот теоремы Гёделя позволяют избежать в этом вопросе апелляции к каким бы то ни было богам, будь то олимпийские или последующие за олимпийскими (у Гёделя их место занимают «математические демоны»). 

Ниже об  этих «демонах» пойдёт речь, а пока напомним, ради сравнения, о двух современных попытках подправить историческую мысль так, чтобы можно было обойтись без обращения к богам и демонам. В самое последнее время многие Западные специалисты в области исторической науки просто согласились с тем, что историк имеет право излагать историю как повесть или  рассказ (нарратив у П. Рикёра). Конечно, при этом нельзя будет избежать субъективных пристрастий того или иного повествователя, но это лучше, считают они, нежели обращаться к божественному провидению. С ними не согласился бы русский писатель Л. Н. Толстой, если бы он жил в наше время.

В эпилоге этого романа «Война и мир» Толстой поделился с читателем мыслями о том,  как им оценивается ход исторических событий вообще и тех событий, которые запечатлел он, как художник, в созданном им произведении. Итак, предмет истории, писал он, есть жизнь народов и  человечества. Непосредственно уловить и обнять словом − описать жизнь не только человечества, но одного народа, − представляется невозможным. Все древние историки употребляли один и тот же приём для того, чтобы описать и уловить кажущуюся неуловимой жизнь народа. Они описывали деятельность единичных людей, правящих народом; и эта деятельность выражала для них деятельность всего народа. На вопросы о том, каким образом единичные люди заставляли действовать народы по своей воле и  чем управлялась сама воля этих людей, древние отвечали: «на первый вопрос − признанием воли божества, подчинявшей народы воле одного избранного человека; и на второй вопрос − признанием того же божества, направлявшего эту волю избранного к предназначенной цели» [4, с. 315]. Одним словом: «Для древних вопросы эти разрешались верою в непосредственное участие божества в делах человеческих» [там же].

Новая история, указывает далее автор, отвергла оба эти положения. Но что, по его мнению, она должна сделать, чтобы заполнить лакуну? Необходимо, утверждает он, объяснить, как на фоне научной необходимости возникает представление о свободном волеизъявлении. Откуда оно берётся? Ответ звучит так. То, что известно нам в истории, мы называем законами необходимости подобно тому, как это делается в опытных науках. А то, что неизвестно, носит название свободы. «Свобода для истории есть выражение неизвестного остатка от того, что мы знаем о законах жизни человека» [там же, с. 359]. Следовательно, свобода, по Толстому, представляет собой аберрацию исторической формы сознания людей, возникающую  из-за неполного знания предмета. И чтобы устранить эту аберрацию, надо устранить из человеческого воображения причины, её вызывающие. Причинами он называет проявления свободы воли, волеизъявления. От свободы воли ничего не останется, когда будут  установлены законы непрерывного движения. «Отыскание этих законов, − говорит Толстой, − уже давно начато, и те новые приёмы мышления, которые должна усвоить себе история, вырабатываются одновременно с самоуничтожением, к которому, всё  дробя и дробя причины явлений, идёт старая история» [там же].

По такому пути, полагает он, шли все науки человеческие. Образец − математика.  Придя к бесконечно малому, эта точнейшая из наук, по словам Толстого, оставляет процесс дробления и приступает к новому процессу суммирования неизвестных, бесконечно малых величин. «Отступая от понятия о причине, математика отыскивает закон, то есть свойства, общие всем неизвестным бесконечно малым элементам» [там же, с. 359-360].

Толстой правильно отметил, что античные мыслители, пытаясь объяснить ход исторических событий, не могли не заметить, что они далеко не всегда определяются причинно-следственными связями, а потому и обращали своё внимание к богам. Однако при желании освободиться от апелляции к божеству он, по сути дела, опирается на концепцию  лапласовского детерминизма. Но это есть тот крайний случай в подходе к построению исторической науки, который отдаёт механицизмом. И надо отметить, что в области социальных и гуманитарных наук механистическое мировоззрение подвергалось резкой критике со стороны русских мыслителей, современников Толстого, которые были заняты поисками духовной истины в её связи с идеями свободы и необходимости. К их числу, например, принадлежит наш выдающийся соотечественник А. С. Хомяков (1804-1856). Мысль человеческая, писал он, от действия жизни и зависимости её от природы внешней свыкается со строгими законами логической необходимости.  «Разумным кажется только то, что развивается в сцеплении причин и следствий. Безначальная и самосущая воля, неосязаемая для пытливого ума, получает весь характер произвольной догадки и, в сравнении с понятиями определёнными, выведенными из жизненного опыта, падает на степень тёмного и сомнительного инстинкта» [8, с. 274].  А что остаётся  в результате? Хомяков констатирует, что наука не смогла до сих пор «довести логическое развитие далее самоотрицания необходимости, возвращающего мысли свободу, но сама свобода носит ещё клеймо отрицания и не представляет творческой и всемогущей воли» [там же]. Поэтому если свобода и отстаивает своё право на свободное волеизъявление, то не иначе, как в «образах и символах религиозных» [там же].

Мы столь детально изложили точку зрения Толстого на исторический процесс потому, что он апеллирует к математике. Но пользуясь математическими средствами для описания тех или иных явлений, надо ещё не забывать об искусстве интерпретации математических теорем.

Теперь обратимся напрямую к теоремам Гёделя и напомним о том, какими средствами он пользуется в своих доказательствах. Ну, во-первых, формализация высказываний, наличествующих в теории целых положительных чисел. Во-вторых, проводится формализация средств доказательств, применяемых в этой теории. Понятно, что подвергаются формализации арифметические аксиомы Пеано. Но ко всему этому добавляется метаматематический метод кодификации всех выражений теории посредством целых положительных чисел. Каждая доказуемая формула выражается определённым числом, как и каждая цепочка формул, служащая доказательством заключительной (выводимой) формулы. Таким образом выстраивается рекурсивная последовательность доказуемых формул и вместе с тем рекурсивная последовательность чисел, однозначно соответствующих доказуемым формулам. Формула G содержит в себе отрицание принадлежности к рекурсивной последовательности доказуемых формул, что исключает соответствующее ей число из представленного рекурсивного ряда чисел. Предъявив   образец числа с неиндуктивными свойствами, Гёдель тем самым доказал существование неиндуктивных чисел (см. гипотезу Н. Н. Лузина)  [2, с. 31].  Вот эти числа и можно было бы назвать «демонами» Гёделя. 

Но возникает вопрос о логике их появления в рамках множества индуктивных чисел. Здесь мы находим  диалектическое отрицание, которое Мартин Хайдеггер называет  привацией и даёт определение: «Если мы нечто отрицаем так, что не просто исключаем, а, скорее, фиксируем в смысле недостачи, то такое отрицание называют привацией (Privation)» [7, с. 86]. Привация обеспечивает переход от экстенсионального контекста классической логики, обычно отождествляемого с формальной логикой как таковой, к интенсиональному контексту. В экстенсиональом контексте каждое индивидуальное целое положительное число отождествляется с единичным (под)классом множества других подобных элементов. В интенсиональном контексте целые положительные числа попадают в числовую группировку с вероятностным распределением  её элементов (вероятностный ансамбль). Метаморфоз чисел происходит как реакция на сведение их всецело к индуктивному генезису. При этом условии обеспечивается непротиворечивость теории, но выявляется её неполнота.

К вопросу о вероятностном ансамбле мы вернёмся ниже, а пока продемонстрируем действие привации на более наглядном примере. Речь пойдёт о концепции дедекиндова сечения. Делается следующее естественное допущение: если все точки прямой, которая считается непрерывной,  распадаются на два класса  так, что каждая точка первого класса лежит влево от каждой точки второго класса, то существует одна, и только одна, точка, которая производит это (рас)сечение. Из практики измерения отрезков прямой её населяют рациональными числами, соотнося с ними точки. Рациональные числа разделяют на два класса таким образом, что всякое число первого класса меньше любого числа второго класса. При таком разделении  мыслимы только четыре ситуации.  

1. Среди чисел первого класса находится одно наибольшее число a, среди чисел второго класса наименьшее b. Эта возможность исключается, ибо было бы рациональным числом, которое вопреки предположению не принадлежало бы ни к первому, ни ко второму классу.
2. Среди чисел первого класса находится одно наибольшее а, а среди чисел второго класса нет наименьшего; тогда а есть рациональное число, производящее сечение.
3. Среди чисел первого класса нет наибольшего, но среди чисел второго класса имеется наименьшее b; тогда b производит данное сечение.
4. Наконец, среди чисел первого класса нет наибольшего, среди чисел второго класса нет наименьшего; тогда не имеется рационального числа, которое производило бы это сечение. В этой ситуации секущая точка отождествляется с нерациональным, иррациональным, числом, и так при каждом сечении.

Что же мы находим в процедуре введения в математический обиход иррациональных чисел? Мы находим в ней тот логический приём мышления, который  выше был назван  привацией. Изначально нам была представлена система рациональных чисел с присущей ей мерой. Затем в этой системе была выявлена недостача, неполнота установленной  меры. Выявленная неполнота восполнена введением иррациональных чисел. Здесь и просматривается явная аналогия с тем, как гёделева теорема неполноты высвечивает  существование неиндуктивных чисел.

Теперь попытаемся представить модель для интерпретации этих чисел. Эта модель, как видно будет далее, находится на границе между математикой и квантовой физикой. В своё время к ней близко подошёл Ю. И. Манин. В статье  «Теорема Гёделя» (так он для краткости назвал обе гёделевы теоремы) автор писал, что строго говоря, эта теорема является «высокотехническим» утверждением о специальном и весьма сложном комбинаторном объекте − формальном языке первого порядка. «Однако и формулировка, и доказательство Гёделя допускает целый спектр расширительных толкований,  которым и определяется общефилософское значение результата» [3, с. 80]. Далее он утверждает, что изложенная им точка зрения на эту теорему даёт основания считать её существенным вкладом естественных наук в фонд наук гуманитарных. По значению и глубине с ним  можно сравнивать, говорит он, пожалуй, только анализ квантово-механических представлений о «дополнительности» и «неопределённости», распространённый Нильсом Бором далеко за пределы физики микромира. Не исключено, что оба этих круга идей − логики и квантовой механики − в приложении к теории познания имеют глубинную связь.  «Дело в том, что «принцип запрета» Гёделя относится к строго детерминированным процессам рассуждения, тогда как квантовая механика как раз очерчивает границы наивного детерминизма» [там же, с. 81]. 

Косвенным образом автор ставит задачу выявить то общее, что имеет место в квантовой механике и в системе формализованной арифметики. Понятно, что если существует общность этих двух разных теорий, то она может заключаться только в присущей им единой логике, которая и сочетает в себе экстенсиональный и интенсиональный контексты логической мысли в виде противоположностей, в соответствии с принципом дополнительности Н. Бора: «contraria sunt complementa (противоположности дополнительны)». (Подробности изложены в статье [1]).   Знакомство с квантовой механикой позволяет подойти к рассмотрению суперпозиции квантовых состояний, относящихся не к физическим частицам, а к целым положительным числам. Это имеет место в процессе квантово-компьютерных вычислений. 

Процесс этот является информационным (в смысле шенноновской оценки (количества) информации), только на место бита − единицы информации, используемой в классическом компьютере, − ставится кубит (квантовый бит). Превращение бита в кубит сводится к тому, что если в классическом компьютере бит информации принимает индивидуальное значение (либо нуль, либо единица), то квантовые биты  принимают определённые значения только тогда, когда проводится измерение. До измерения каждый кубит существует потенциально с присущей ему степенью вероятности. Вероятности вычисляются по амплитудам вероятности. 

 Когда говорят, что квантовый компьютер обладает мощностью, скажем, в тысячу кубитов, то имеют в виду, что регистр компьютера состоит из тысячи сцепленных между собой квантовых частиц, каждая из которых может находиться в одном из двух состояний, обозначаемых нулём или единицей. Нуль и единица используются для двоичного представления целых чисел. Суперпозиция состояний всех частиц задаётся в гильбертовом пространстве с базовыми векторами, отождествляемыми, таким образом, с целыми положительными числами, входящими в числовой ансамбль, насчитывающий  чисел для n-кубитового  компьютера. Сам процесс вычисления проводится согласно заданному алгоритму (например, по алгоритму Шора). Алгоритм состоит из отдельных операций,  называемых гейтами. Действия гейтов удовлетворяют требованию сохранения унитарности при реализации вычислительного процесса.

Понятно, что в вышеуказанном числовом ансамбле все целые числа могут быть упорядочены в соответствии с их величинами. Но их временная детерминация является вероятностно-статистической. И вообще здесь мы входим в область вероятностных законов больших чисел. Вот в этой области мы и находим модель (естественную интерпретацию) неиндуктивных чисел.  Управлять процессом квантово-компьютерных вычислений значит управлять не только временным  процессом превращения индуктивных целых чисел в числа неиндуктивные, но и удерживать числа в одном и том же состоянии.

Теоремы неполноты Гёделя занимают в научном познании  то место, которое можно было бы назвать местом перекрещивания (Verschränkung − нем.) разных наук, что позволяет  устанавливать и решать фундаментальные проблемы в разных отраслях знания: в основаниях математики, в логике, в физике (к примеру, квантово-компьютерные вычисления), в социально-гуманитарных науках.  Что касается математического знания, то Гёдель показал, что финитистская программа обоснования математики, выдвинутая Д. Гильбертом, не может служить обоснованием даже элементарной арифметики. Примерно такая же участь  постигла и канторовский подход к решению проблемы континуума (или конкретнее: канторовской  континуум-гипотезы). Гёдель констатировал, что континуум-гипотеза Кантора,  даже будучи сформулированной в обобщённой форме,  лишена  математического значения;  присоединение её в качестве аксиомы к аксиоматике теории множеств (будь то ZF или NB) «не влечёт теоретико-числовых теорем») [11, с. 273].

Но особую важность приобретают гёделевы теоремы как раз при ориентации их на социально-гуманитарные науки. Теоремы дают ответ на вопрос, в какой мере можно считать детерминированным ход исторического процесса. Многие физики, специалисты в области квантовой механики, соотносят прошлое и будущее в человеческой истории с категориями возможности и действительности. В перспективе − возможность и вероятность, в ретроспективе − действительно-фактическое, остающееся неизменным. Такой точки зрения придерживался, например,  К. Ф. фон Вайцзеккер [5, с. 125]. Однако сочетание взгляда на прошлое с ретроспективным истолкованием натурального ряда чисел допускает возможность наличия дальнодействующей связи между давно ушедшими в прошлое историческими событиями и теперешним состоянием человеческого бытия. Эту связь имел в виду Хайдеггер, когда указывал, что настоящее возникает «из переклички истока и цели» при наличии  взаимной переклички исторических эпох [6, с. 279, 396].

Попытка Л. Н. Толстого прибегнуть к математическому описанию исторического процесса с тем, чтобы избежать при этом апелляции к божественным силам, оказалась неудачной не потому, что при решении таких вопросов непригодна математика, а потому что он  нашёл себе утешение в доктрине лапласовского детерминизма, от которой впоследствии пришлось отказаться даже при описании физических явлений.

Список литературы

1. Антипенко Л. Г. К вопросу о формировании комплементарной логики // Электронный философский журнал Vox. Вып. 23 (декабрь 2017).    Электронный ресурс URL: https://vox-journal.org/html/issues/408/419
2. Лузин Н Н. Об арифметических методах математиков XVII века // Вопросы истории  естествознания и техники. М., 1993. №4. С. 25−35. 
3. Манин Ю. И. Теорема Гёделя. Природа, 1975, №12.
4. Толстой Л. Н. Собр. соч. в двенадцати томах. Т. М.: изд. «Правда», 1987.
5. Фон Вайцзеккер, К. Ф. Физика и философия. 1993. №1.
6. Хайдеггер, Мартин. Время и бытие. М.: «Республика», 1993.
7. Хайдеггер, Мартин. Цолликоновские семинары (Протоколы − Беседы − Письма). Вильнюс: ЕГУ, 2012 (пер. с нем. яз. И. Глуховой).
8. Хомяков А. С. «Семирамида». Исследование исторических идей // Соч.: в 2 т. Т.1. М., 1994.
9. An Introduction to the General Theory of Algorithms by Michael Machtey, Paul Young. N. Y., Oxford, Shannon, 1978.
10. Gӧdel K. On undecidable propositions of formal mathematical systems. − In: the undecidable. Hewlett (N. Y.), 1965.
11. Gӧdel, Kurt. What is Cantor΄s continuum problem? // Philosophy of Mathematics. (Selected readings, edited and with introduced by Paul Benacerraf and Hilary Putnam). New York, 1964.

Источник: Антипенко Л. Г. О  философско-мировоззренческом  значении  гёделевых  теорем  неполноты  //  Философская школа. – № 11. – 2019.  – С. 49–55. DOI.: 10.24411/2541-7673-2020-11105